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“因此,我们可以推断出,对于足够大的n,方程f(x) = n!不会有解,因为n!的增长速度慢于x^3。”
张晓倩也听的无比认真,一时竟然忘了两人的距离,慢慢的两人身体都快贴在一起了。
“接下来,我们考虑n较小时的情况。我们可以尝试计算f(x)的前几项,看看是否能找到一些规律。”
然后周哲在草稿纸上演算起来:
f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
f(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0
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f(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0
...
如果是周哲自己解题,早就已经结束了,但讲题和做题是不同的,要引导张晓倩进入正确的思路中去。
三分钟后,草稿纸上已经写了许多条计算过程,张晓倩的眼睛也是越来越明亮,好似抓住了某些东西。
周哲继续讲着:“我们发现,当x=1, 2, 3时,f(x)的值都为0。这意味着方程f(x) = n!在n=1, 2, 3时都有解……”
“我好像知道了,让我试试!”张晓倩面带笑意,主动请缨。
“行,那后面的你自己算!”周哲自然同意,这样的方式才能帮助张晓倩理解题目,否则是无用功。
现在两人转换角色,由张晓倩接着演算和讲解:“后面我们需要证明对于任意的正整数n,方程f(x) = n!有且仅有一个正整数解。我们可以使用反证法来证明这一点。”
张晓倩说到这里停顿下来看向周哲,得到周哲的点头后,才又自信的继续解题:“假设存在某个正整数m,使得方程f(x) = m!有两个正整数解x1和x2,且x1 < x2。根据罗尔定理,如果一个连续可微函数在两个点取相同的值,那么……”
张晓倩是越讲越顺畅,这道奥数题的思路和过程也清晰的板书在草稿纸上
“综上所述,我们证明了对于任意的正整数n,方程f(x) = n!有且仅有一个正整数解。”
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